Tag Archives: Electric circuits

Linear and Non-Linear Inductors

An ideal inductor would have zero capacitance and zero resistance.

The Figure below shows a graph of inductive reactance X_{L} versus frequency f. Inductive reactance increases linearly with frequency.

Figure: Inductive reactance X_{L} vs frequency f (ideal inductor)

A real inductor can be modeled by the following elements:

  • a series inductor L
  • a series resistor R_{DC} or R_{S}
  • a parallel capacitor C_{P} or C_{d}: It is the distributed capacitance between the turns of the wire and is derived from the Self Resonant Frequency (f_{o}).
  • a parallel resistor R_{P}: It represents the magnetic core loss of the inductor core.

The figure below shows a real-life impedance vs frequency graph.

Figure: Inductive reactance X_{L} vs frequency f (real inductor)

Self-Resonant Frequency (SRF) or f_{o} in Hz: This is the frequency at which the inductance of the inductor L resonates with the inductor’s distributed capacitance C_{P}. Increasing L or C lowers f_{o}. Decreasing L or C raises f_{o}.

f_{o} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}

At f_{o}

  • the inductor will act as a pure resistor,
  • the input impedance is at its peak,
  • the Quality factor of the inductor is zero,
  • the reactance of the inductor X_{L} is zero,
  • the capacitance is given by C_{P} = \frac {1}{(2 \pi f_{o})^2L_{o}}

At frequencies below f_{o} the reactance is inductive and increases as the frequency increases.

At frequencies above f_{o} the reactance is capacitive and decreases as the frequency increases.

Основна крива на намагнитване

Фиг. B=f(H)

Основна крива на намагнитване – това в зависимосста B_{m}(H_{m}) определена като съвкупност от положенията на върховете на симетричните хистерезисни цикли при различни стойности на B_{m} и H_{m}.

Ανάλυση συζευγμένων κυκλωμάτων (analysis of coupled coils)

Θεωρούμε τα πηνία τυλιγμένα στον ίδιο πυρήνα.

Επειδή κάθε κύκλωμα περιέχει μια πηγή τάσεως, εκλέγουμε τα ρεύματα βρόχων i1 και i2 ώστε να έχουν ίδια φορά με τις πηγές και γράφουμε τις δύο εξισώσεις βρόχων σύμφωνα με το νόμο τάσεων του Kirchoff

Η πολικότητα των τάσεων αλληλεπαγωγής εξαρτάται απο τη φορά των περιελίξεων. Για να καθορίσουμε τα σωστά πρόσημα στις παραπάνω εξισώσεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του δεξιού χεριού σε κάθε πηνίο. Καθορίζονται έτσι οι θετικές φορές των \phi_{1} και \phi_{2} όπως το σχήμα. Αν οι ροές \phi_{1} και \phi_{2} που οφείλονται στα υποτιθέμενα θετικά ρεύματα, έχουν ίδια φορά και άρα προστίθενται, τότε τα πρόσημα των τάσεων αλληλεπαγωγής είναι τα ίδια με τα πρόσημα των τάσεων αυτεπαγωγής. Ξαναγράφοντας τις εξισώσεις με σωστά πρόσημα, όπου οι \phi_{1} και \phi_{2} είναι αντίθετης φοράς έχουμε

Αν υποθέσουμε ότι οι τάσεις των πηγών είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου και ότι βρισκόμαστε στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση

Αλληλεπαγωγή

Έστω ότι το πηνίο 1 του σχήματος διαρρέεται απο ένα ρεύμα i_{1} που μεταβάλλεται με το χρόνο. Το μεταβαλλόμενο ρεύμα i_{1} δημιουργεί μια μαγνητική ροή \phi_{1}. Ένα μέρος αυτής της ροής εμπλέκει μόνο το πηνίο 1 (δηλαδή περνάει μόνο μέσα απο το πηνίο 1) και καλείται μαγνητική ροή σκεδάσεως \phi_{11}. Η υπόλοιπη ροή \phi_{12} εμπλέκει και το πηνίο 2, όπως φαίνεται στο σχήμα και καλείται κοινή ροή. Η επαγόμενη τάση στο πηνίο 2 δίνεται απο τον νόμο του Faraday.

u_2=N_2 \frac{d\phi_{12}}{dt}, N_2 – σπείρες του πηνίου 2 (inductor 2, number of winding turns)

Επειδή η \phi_{12} είναι ανάλογη προς το ρεύμα \i_{1}, η u_{2} είναι ανάλογη προς τη μεταβολή του i_{1} ανά μονάδα χρόνου

u_{2}=M \frac{di_{1}}{dt}

Η σταθερή αναλογίας M λέγεται συντελεστής αλληλεπαγωγής (mutual inductance). Η μονάδα αλληλεπαγωγής είναι το Henry.

Απο τις παραπάνω δύο εξισώσεις έχουμε

u_2=N_2 \frac{d\phi_{12}}{dt}=M \frac{di_{1}}{dt}

και M=N_{2} \frac{d \phi_{12}}{di_{1}} (1)

Για ένα σύνολο πηνίων τυλιγμένων στον ίδιο πυρήνα σιδήρου, η ροή και το ρεύμα δε συνδέονται γραμμικά και η αλληλεπαγωγή δίνεται απο την (1).

Αν στη θέση του πυρήνα υπάρχει μόνο αέρας, η ροή και το ρεύμα συνδέονται γραμμικά και η αλληλεπαγωγή είναι

M=N_{2} \frac{\phi_{12}}{i_{1}}

Η αμοιβαία σύζευξη είναι αμφίπλευρη και ανάλογα αποτελέσματα παίρνουμε, αν ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα i_{2} διαρρέει το πηνίο 2. Τότε οι ροές είναι \phi_2, \phi_{21} και \phi_{22}, η επαγώμενη τάση στο πηνίο 1 είναι

u_{1}=M \frac{di_{2}}{dt}

και M=N_{1} \frac{d \phi_{21}}{di_{2}}, N_1 – σπείρες του πηνίου 1 (inductor 1, number of winding turns)

Αν στη θέση του πυρήνα υπάρχει μόνο αέρας, η ροή και το ρεύμα συνδέονται γραμμικά και η αλληλεπαγωγή είναι

M=N_{1} \frac{\phi_{21}}{i_{2}}

Αυτεπαγωγή L (self-inductance of the coil)

Όταν σ’ ένα κύκλωμα ένα ρεύμα μεταβάλλεται, η μαγνητική ροή που περνάει μέσα από το ίδιο κύκλωμα (coil) μεταβάλλεται και δημιουργείται, επάγεται όπως λέμε στο κύκλωμα μια ΗΕΔ. Υποθέτοντας σταθερή τη μαγνητική διαπερατότητα (permeability), η επαγόμενη ΗΕΔ είναι ανάλογη προς τη μεταβολή του ρεύματος ανά μονάδα χρόνου δηλ. u_{L}=L \frac{di}{dt}

Η σταθερή αναλογίας L καλείται αυτεπαγωγή του κυκλώματος και έχει μονάδα το Henry (H).

Η ΗΕΔ ενός πηνίου με Ν σπείρες είναι u_{L}=N \frac{d \phi}{dt} (Faraday’s law)

όπου N d\phi είναι η μεταβολή της πλεγμένης μαγνητικής ροής N \phi του κυκλώματος. Από τις παραπάνω δύο εξισώσεις έχουμε

L \frac{di}{dt}=N \frac{d \phi}{dt} απ’ όπου L=N\frac{d\phi}{di}  (Ldi=N d\phi)

Αν στη θέση του πυρήνα υπάρχει μόνο αέρας, η ροή και το ρεύμα συνδέονται γραμμικά L=N \frac{\phi}{i}=const.