Tag Archives: Electromagnetism

Linear and Non-Linear Inductors

An ideal inductor would have zero capacitance and zero resistance.

The Figure below shows a graph of inductive reactance X_{L} versus frequency f. Inductive reactance increases linearly with frequency.

Figure: Inductive reactance X_{L} vs frequency f (ideal inductor)

A real inductor can be modeled by the following elements:

  • a series inductor L
  • a series resistor R_{DC} or R_{S}: The resistance of the inductor winding measured using DC current. The resistance in a component due to the length and diameter of the winding wire used. It represents the DC copper loss (due to DC resistance) of the wire.

R_{DC}=\rho \frac{l}{s}

\rho \ - \ resistivity \ (material \ dependent \ factor), [\Omega m]

l \ - \ length,\ [m]

s \ - \ cross \ section, [m^2].

  • a parallel capacitor C_{P} or C_{d}: It is the distributed capacitance between the turns of the wire and is derived from the Self Resonant Frequency (f_{o}).
  • a parallel resistor R_{P}: It represents the magnetic core loss of the inductor core.

The figure below shows a real-life impedance vs frequency graph.

Figure: Inductive reactance X_{L} vs frequency f (real inductor)

Self-Resonant Frequency (SRF) or f_{o} in Hz: This is the frequency at which the inductance of the inductor L resonates with the inductor’s distributed capacitance C_{P}. Increasing L or C lowers f_{o}. Decreasing L or C raises f_{o}.

Q=2 \pi \frac{maximum \ energy \ stored}{energy \ dissipated \ per \ cycle}=2 \pi \frac{\frac{1}{2}LI_{max}^2}{(\frac{I_{max}}{\sqrt{2}})^2RT}=2 \pi \frac{L}{R \frac{1}{f}}=\frac{2 \pi f L}{R}=\frac{X_{L}}{R}

f_{o} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}

At f_{o}

  • the inductor will act as a pure resistor,
  • the input impedance is at its peak,
  • the Quality factor of the inductor is zero,
  • the reactance of the inductor X_{L} is zero,
  • the capacitance is given by C_{P} = \frac {1}{(2 \pi f_{o})^2L_{o}}

At frequencies below f_{o} the reactance is inductive and increases as the frequency increases.

At frequencies above f_{o} the reactance is capacitive and decreases as the frequency increases.

Закон за пълния ток (Ampere’s Law)

Законът обвързва циркулацията на вектора на интензитета на магнитното поле H по произволен затворен контур G с пълния ток I_{\Sigma}, който преминава през ограничената от контура повърхност. За избраната посока на обхождане на G, I_{\Sigma} = i_{1} - i_{2} - i_{k}.

Когато контурът G обхвъща навивките на намотка с N навивки, през които протича ток i, пълният ток I_{\Sigma} = Ni=F_{m}, където величината F_{m}=Ni се нарича магнитодвижещо напрежение (magnetomotive force).

Ако пространството през което минава контурът G се раздели на M участъка, всеки с дължина l_{k}, сечение S_{k}, и магнитна проницаемост \mu_{k}, такива, че във всеки участък интензитета на полето  H_{k} има постоянна стойност, законът за пълния ток приема вида:

С използване на известните връзки между интензитета на магнитното поле H, неговата индукция B и създадения магнитен поток \Phi, магнитодвижещото напрежение на източника F_{m} се представя с израза:

Основна крива на намагнитване

Фиг. B=f(H)

Основна крива на намагнитване – това в зависимосста B_{m}(H_{m}) определена като съвкупност от положенията на върховете на симетричните хистерезисни цикли при различни стойности на B_{m} и H_{m}.

Αυτεπαγωγή L (self-inductance of the coil)

Όταν σ’ ένα κύκλωμα ένα ρεύμα μεταβάλλεται, η μαγνητική ροή που περνάει μέσα από το ίδιο κύκλωμα (coil) μεταβάλλεται και δημιουργείται, επάγεται όπως λέμε στο κύκλωμα μια ΗΕΔ. Υποθέτοντας σταθερή τη μαγνητική διαπερατότητα (permeability), η επαγόμενη ΗΕΔ είναι ανάλογη προς τη μεταβολή του ρεύματος ανά μονάδα χρόνου δηλ. u_{L}=L \frac{di}{dt}

Η σταθερή αναλογίας L καλείται αυτεπαγωγή του κυκλώματος και έχει μονάδα το Henry (H).

Η ΗΕΔ ενός πηνίου με Ν σπείρες είναι u_{L}=N \frac{d \phi}{dt} (Faraday’s law)

όπου N d\phi είναι η μεταβολή της πλεγμένης μαγνητικής ροής N \phi του κυκλώματος. Από τις παραπάνω δύο εξισώσεις έχουμε

L \frac{di}{dt}=N \frac{d \phi}{dt} απ’ όπου L=N\frac{d\phi}{di}  (Ldi=N d\phi)

Αν στη θέση του πυρήνα υπάρχει μόνο αέρας, η ροή και το ρεύμα συνδέονται γραμμικά L=N \frac{\phi}{i}=const.

Magnetic reluctance

Reluctance in magnetism (R_{m}) is analogous to resistance R in electricity. Just as a current travels along the path of least resistance, so the flux of a magnetic field takes the path of least relactance. Iron has very low reluctance.

(Ohm’s law: R= \frac{V}{I})

Δινορεύματα

Με το νόμο του Faraday εξηγούνται οι απώλειες εξαιτίας των δινορευμάτων (eddy currents). Μια χρονικά μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή επάγει τάση μέσα στον ίδιο τον πυρήνα, όπως ακριβώς και στο τύλιγμα του. Αυτή η τάση προκαλεί στο εσωτερικό του πυρήνα ρεύματα με μορφή στροβίλων. Τα ρεύματα ονομάζονται δινορεύματα. Καθώς τα δινορεύματα διαρρέουν τον αγώγιμο πυρήνα καταναλώνεται ενέργεια. Η ενέργεια που χάνεται μετατρέπεται σε θερμότητα και θερμαίνει τον πυρήνα.

Αποδεικνύεται ότι το ποσό της ενέργειας που χάνεται εξαιτίας των δινορευμάτων είναι ανάλογο του μήκους της διαδρομής που αυτά διαγράφουν μέσα στον πυρήνα. Γι’ αυτό το λόγο οι σιδηρομαγνητικοί πυρήνες, στους οποίους είναι δυνατό να αναπτυχθούν τέτοια ανεπιθύμητα ρεύματα, χωρίζονται σε λεπτά φύλλα που ονομάζονται δυναμοελάσματα (laminations). Κατόπιν  τα δυναμοελάσματα ενώνονται για να σχηματίσουν το νέο πυρήνα. Ανάμεσα στα δυναμοελάσματα παρεμβάλλονται μονωτικές ρητίνες που περιορίζουν τις διαδρομές των δινορευμάτων. Η παρεμβολή ρητίνων δεν επιδρά σχεδόν καθόλου στις μαγνητικές ικανότητες ενός πυρήνα μια και έχει πολύ μικρό πάχος. Αντίθετα παίζει πολύ σπουδαίο ρόλο στη μείωση των απωλειών εξαιτίας των δινορευμάτων.

Inductor specification

  • Inductance L (\mu H) (tested at a certain test conditions for example 100 KHz, 0.1 V_{rms}, 0 A DC)
  • Inductive tolerance: It is the allowed amount of variation from the nominal value specified by the manufacturer (e.g. ±20%).
  • Rated operating voltage (across inductor)
  • DC Resistance (DCR)
  • AC Resistance (ACR)
    • AC loss that comes from losses in the core as the magnetic field transitions. This includes eddy current losses and hysteresis losses.
    • The AC resistance of the wire due to the skin effect. It can be important at very high frequencies.
  • Maximum DC current I_{DC}: Maximum DC current is the DC current at which the inductance falls to 90% of its nominal value or until its temperature rise reaches 30 °C.

Figure: Inductance vs DC Bias Load (or DC Bias Characteristic)

DC Bias current relates to a constant current element that is added to the AC signal.

  • Incremental Current Rating: The DC bias current that causes an inductance drop of 5% from the initial zero DC bias inductance value.
  • I_{rms} or RMS current:
    • I_{rms} for a 20°C rise above 25°C ambient temperature
    • I_{rms} for a 40°C rise above 25°C ambient temperature
  • Saturation current I_{SAT}: The DC bias current that causes the inductor to drop by a specified percentage (e.g. 10% or 20%) from its value without current. See Figure Inductance vs DC Bias Load (or DC Bias Characteristic)
  • Q factor or Quality factor: Q=\frac{2 \pi f L}{R}=\frac{X_{L}}{R}
  • Self-Resonant Frequency (SRF) or f_{o} in Hz
  • Curie temperature T_{C} (in degrees Celsius): It is the temperature at which the core material start to lose its magnetic properties.
  • Inductance temperature coefficient: The change in inductance per unit temperature change. Measured under zero bias conditions and expressed in parts per million (ppm).
  • Resistance temperature coefficient: The change in DC wire resistance per unit temperature change. Measured at low DC Bias (<1 VDC) and expressed in parts per million (ppm).
  • Magnetic saturation flux density B_{SAT}: At this value of flux density, all magnetic domains within the core are magnetized and aligned.
  • Shielding
    • with shield
    • without shield
  • Electromagnetic interference (EMI): It refers to the magnetic field radiated away from the inductor into space. The magnetic field may cause interference with other magnetically sensitive components.
  • Core material
    • Ferrite cores
    • Iron powder cores
  • Storage temperature range
  • Operating temperature range
    • Ambient temperature range not including self-temperature rise
    • Product temperature range including self-temperature rise. The operating temperature T_{Op} is equal to the ambient temperature T_{Amb} plus component’s self-heating \Delta T. The maximum allowable temperature for an inductor is the maximum ambient temperature plus the maximum temperature rise.
  • Moisture Sensitivity Level (MSL)

Σχετική μαγνητική διαπερατότητα (relative permeability)

Η διαπερατότητα οποιουδήποτε υλικού \mu (permeability of a specific medium, H/m) σχετίζεται με τη μαγνητική διαπερατότητα του κενού \mu_{o} (permeability of vacuum, 4π10-7 H/m) μέσω της σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας \mu_{r} (relative permeability of the material). Η σχετική μαγνητική διαπερατότητα μπορεί εύκολα να δώσει ένα μέτρο σύγκρισης της δυνατότητας μαγνήτισης διαφορετικών υλικών.

Οι χάλυβες από τους οποίους κατασκευάζονται οι ηλεκτρικές μηχανές έχουν σχετική μαγνητική διαπερατότητα από 2000 έως 4000 κι ακόμη μεγαλύτερη. Αυτό σημαίνει πως για δεδομένο ρεύμα η μαγνητική ροή μέσα απο ένα τμήμα του μετάλλου είναι 2000 έως 4000 φορές μεγαλύτερη απ’ αυτή σ’ ένα αντίστοιχο τμήμα στον αέρα.

Το είδος του μετάλλου του πυρήνα των ηλεκτρικών μηχανών και των μετασχηματιστών παίζει σημαντικό ρόλο στην αύξηση αλλά και στη συγκέντρωση της μαγνητικής ροής κατά τη λειτουργία τους.

Αφού η διαπερατότητα του σιδήρου είναι πολύ μεγαλύτερη απ’ αυτή του αέρα, το μεγαλύτερο τμήμα της μαγνητικής ροής σ’ έναν πυρήνα, παραμένει μέσα στο σίδηρο και δεν σκορπίζεται στη γύρω απ’ αυτόν περιοχή.

Η εξίσωση B=\mu H παρουσιάζει μια γραμμική σχέση μεταξύ των B και H με την προϋπόθεση ότι η \mu παραμένει σταθερή, όπως για παράδειγμα σε μη μαγνητικά υλικά ή σε μαγνητικά υλικά που λειτουργούν σε μια γραμμική περιοχή, αρκετά χαμηλότερα απο τη B_{sat}. Πέρα απο την B_{sat} το μαγνητικό υλικό φτάνει σε κορεσμό και η κλίση που αποδίδει τη μαγνητική διαπερατότητα (\mu = \frac{\Delta {B}}{\Delta {H}}) μπορεί να είναι πολύ μικρότερη απο τη διαπερατότητα του μέσου στη γραμμική περιοχή.

Феромагнетици и техните свойства

Освен диамагнетиците (diamagnets) и парамагнетиците (paramagnets), наречени още слабомагнитни вещества, съществуват и силномагнитни вещества – феромагнетици (ferromagnets). Феромагнетиците притежават спонтана намагнитеност M т.е. те са намагнитени дори когато липсва външно магнитно поле. Освен техният главен представител желязото към феромагнетиците се отнасят също кобалт, никел, гадолиний и техните сплави и съединения.

Освен способността силно да се намагнитват феромагнетиците притежават и други свойства, които съществено ги отличават от диа- и пара- магнетиците. Ако за слабомагнитните вещества зависимоста \vec{M}(magnetization of the inductor core) от \vec{H}(magnetizing field, magnetic field, magnetic field strength, magnetic field intensity) е линейна, за феромагнетиците тази зависимост, изучена за първи път за желязото от A. Столетов (1839-1896) е доста сложна (фиг.1).  С нарастването на H намагнитеността M отначало бързо нараства, след това расте по-бавно и накрая достига магнитно-насищане M_{HAC}, когато намагнитеността не зависи от интензитета на полето. Наблюдаваната зависимост M(H) е резултат от нарастването на степента на ориентация на магнитните моменти на молекулите по полето с неговото увеличаване. Тъй като броят на неоринтираните молекули постепенно намалява, този процес се забавя и накрая, когато всички магнитни моменти на молекулите вече са ориентирани по полето, нарастването на M представа и се достига магнитно насищане.

Фигура 1 M=f(H)

Магнитната индукция (magnetic flux density, magnetic induction) B = \mu_{o}(H+M)  расте бързо с нарастването на H поради нарастването на M в слаби полета, а в силни полета, тъй като втората компонента е постоянна (M=M_{HAC}), B расте при нарастване на H по линеен закон (фиг. 2).

 Фигура 2 B=f(H)

Съществена особеност на феромагнетиците е не само голямата стойност на μ (например за желязото μ=5000, a за сплавта супермалой μ=800000), но и видът на зависимостта на μ от H (фиг. 3). Първоначално μ расте с нарастването на H, достига максимум и започва да намалява. При силни полета μ клони към единица (\mu_{r}=\frac{B}{\mu_{o}H}=1+\frac{M}{H}), поради което при M=M_{HAC}=const с нарастване на H отношението  \frac{M}{H} \rightarrow 1, a \mu \rightarrow 1.

Фигура 3 \mu=f(H)}

Характерна особеност на феромагнетиците е, че видът на зависимостта на M от H (а следователно на B от H) се определя от предисторията на намагнитването на феромагнетика.  Това явление е получило наименованието магнитен хистерезис. Ако феромагнетикът се намагнити до насищане (точка 1, фиг. 4, Saturation), а след това се намали интензитетът на магнитното поле H, както показва опитът, намалявенето на M се описва с кривата 1-2, разположена над кривата 1-0. При H=0 намагнитеността M е различна то нула т.е. във феромагнетика се наблюдава остатъчно намагнитване M_{OCT}. Остатъчното намагнитване е причина за съществуването на постоянни магнити. Под действието на поле H_{C}, насочено противоположно на полето, предизвикало намагнитване, остатъчното намагнитване се анулира. Интензитетът H_{C} се нарича, коерцитивна сила (Coercivity).

При нарастване на стойностите на противоположното поле над H_{C} феромагнетикът се пренамагнитва (крива 3-4) и при H=-H_{HAC} се достига насищане (точка 4, Saturation in the opposite direction). След това феромагнетикът може отново да се размагнити (крива 4-5-6) и отново да се пренамагнити до насищане (крива 6-1).

Следователно при действие на променливо магнитно поле върху феромагнетика намагнитеността M се изменя по кривата 1-2-3-4-5-6-1, която се нарича хистерезисна крива (Hysterisis loop). Хистерезис е причина намагнитеността на феромагнетика да не е еднозначна функция на H т.е. на една и съща функция на H да съответстват няколко стойности на M.

Фигура 4 M=f(H)

Хистерезисните криви за различните феромагнетици са различни.

  • Mагнитно меки (soft ferromagnetic materials): Феромагнетиците с малка коерцитивна сила H_{C} (с тясна хистерезисна крива)
  • Mагнитно твърди (hard ferromagnetic materials): Феромагнетиците с голяма коерцитивна сила (широка хистерезисна крива).

Магнитно трвърди феромагнетици се употребяват за направа на постоянни магнити. Магнитно меките феромагнетици се употребяват за изготване на сърцевини на трасформатори.

Коерцитивност Hc

Един термин, който може да срещнем при описанието на магнитните носители е коерцитивна сила (Magnetic coercive force or Coercivity). Това понятие показва колко силно магнитно поле може да се запише върху даден носител.

По-силните записващи полета са по-добри защото са по-устойчиви към случайните паразитни смущения, присъствъщи във всяка записваща среда. Тъй като  носителите с по-висока коерцитивна сила са по защитени от шумовете, отколкото ниско коерцитивните материали, при тях има по-малка вероятност от промяна или влошаване под влияние на външни въздействия. По-високата коерцитивна сила и по-голямата устойчивост означават, че записващата система се нуждае от по-мощно магнитно поле, което да намагнитизира максимално носителя.

Единицата за измерване на коерцитивността е Оерстед (Oersted).

Коерцитивността е характеристика, която зависи от температурата.

С увеличаването на температурата намалява устойчивостта на средата към магнитни влияния. Това е едната причина, поради която един, иначе постоянен магнит може да се размагнити, като се нагрее до червено. Състоянието на магнитната среда се променя рязко от устойчиво в променливо, което означава скок в коерцитивността при типичната за всеки материал температура, наречена температура на Кюри (Curie temperature).

Магнитно-оптичните записващи системи се възползват от това, като чрез лазерен лъч нагряват малка област в мангнитния носител, намираща се под въздействие на слабо магнитно поле, което по друг начин не може да повлияе на носителя. При стайна температура записващата среда на магни-оптичните системи има коерцитивност от порядъка 6000 Оерстеда. Когато се нагрее от лазер, тя пада до няколкостотин Оерстеда. Поради тази значителна промяна в коерцитивността, магнитното поле приложено в магнитно-оптичните записващи системи, променя едиствено областите, които са нагрети над точката на Кюри от лазерния лъч (а не цялата област намираща се под влияние на магнитното поле).

Inductor equations

If we assume that a constant DC current has been flowing through the inductor for some time, then \frac{dI_{L}}{dt} is zero and thus V_{L} is zero.

Under DC conditions the inductor acts like a short circuit.

Inductive reactance is measured in Ohms and it tells as “how bad” the inductor passes the current.

Inductive susceptance is measured in Siemens and it tells as “how well” the inductor passes the current.

Practical inductor, RL in series:

Q=2 \pi \frac{maximum \ energy \ stored}{energy \ dissipated \ per \ cycle}=2 \pi \frac{\frac{1}{2}LI_{max}^2}{(\frac{I_{max}}{\sqrt{2}})^2RT}=2 \pi \frac{L}{R \frac{1}{f}}=\frac{2 \pi f L}{R}=\frac{X_{L}}{R}